在白羊市休整了几天，兰杰再度踏上征途，他随羊中物竞队来到首都，入住水木大学的宿舍。
今年CPhO国决、物竞国家队训练都由水木大学承办。兰杰已经是水木的人了，他主场作战，他感觉自己有BUFF加成。
叮叮叮！
物竞国决理论赛开始。
三道理论题，每题10分，答题时间五个小时。
第一题，试求平面正方形无穷电阻网络任意两节点之间的等效电阻。已知网络中各小段电阻均为r，并推广到其他类型的无穷电阻网络，如平面矩形网络、平面正三角形网络、平面正六角形网络、三维立体网络等，试求这些无穷电阻网络任意两节点之间的等效电阻。
‘第一题，好难！’
兰杰不禁感慨，国决毕竟是国决，物竞国决的第一题理论题，不知道会难倒多少选手？
第一题应该会使大多数选手炸裂。
但不包括我阿杰！
对于各段电阻均为r的平面正方形无穷电阻网络，很容易求得相邻两节之间的等效电阻。
然而任意两个不相邻节点之间的等效电阻难以计算。
‘所以必须使用二维平面的傅里叶展开，从而导出平面正方形无穷电阻网络任意两节点之间等效电阻的解析解！’
兰杰画出电图，他在网络平面上建立εη坐标，令任意两节点A、B的坐标为A（0，0），B（m，n），其余所有节点的坐标可表示为（k，l）。其中m、n、k、l均为整数，设电流I（k，l）为流入节点（k，l）的电流，考虑电流I从A点流入，稳定后电流I从B点流出，则有：
I（k，l）=1/r[V（k，l）-V（k-1，l）]+1/r[V（k，l）-V（k+1，l）]+1/r[V（k，l）-V（k，l-1）]+1/r[V（k，l）-V（k，l+1）]
简化为：V（k，l）-￡V（k，l）=r/4I（k，l）
求得齐次方程V（k，l）-￡V（k，l）=0
再求非齐次方程的特解！
寻找函数F（x，y），令它在区间[-π，π；-π，π]上展开为二维傅里叶级数！
经过复杂的数学计算，兰杰求出Rmn=r/4π^2∫-ππ∫-ππ1-cos（mx+ny）/2-cosx-cosydxdy。
这就是平面正方形无穷网络任意两节点之间的等效电阻的解析解